微分積分例

$y = x e^{x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$x (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{x^{3}} (3 x^{2})) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} x^{1} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$3$ を $e^{x^{3}}$ の左に移動させます。

$x^{3} (3 \cdot e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \cdot 1$

ステップ 8

$e^{x^{3}}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

項を並べ替えます。

$3 e^{x^{3}} x^{3} + e^{x^{3}}$

ステップ 9.2

$3 e^{x^{3}} x^{3} + e^{x^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{3} e^{x^{3}} + e^{x^{3}}$

微分積分 例

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