微分積分例

$e^{y} - x y = e$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (e^{y} - x y) = \frac{d}{d y} (e)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $e^{y} - x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{y} + \frac{d}{d y} [- x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$e^{y} - \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 2.3.2

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{y} - (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{y} - (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$e^{y} - (x \cdot 1 + y x')$

ステップ 2.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{y} - (x + y x')$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$e^{y} - x - (y x')$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$e^{y} - x - y x'$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$- y x' - x + e^{y}$

ステップ 3

$e$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $e$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- y x' - x + e^{y} = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$- y x' + e^{y} = x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $e^{y}$ を引きます。

$- y x' = x - e^{y}$

ステップ 5.2

$- y x' = x - e^{y}$ の各項を $- y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- y x' = x - e^{y}$ の各項を $- y$ で割ります。

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

ステップ 5.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$

微分積分 例

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