微分積分例

$- \frac{y}{x + 2 y}$

ステップ 1

$f (y) = - 1$ および $g (y) = \frac{y}{x + 2 y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{x + 2 y}] + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2

$f (y) = y$ および $g (y) = x + 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2

$x + 2 y$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x + 2 y - y \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 2 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ です。

$- \frac{x + 2 y - y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.4

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x + 2 y - y (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [2 y]$ をたし算します。

$- \frac{x + 2 y - y \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.6

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{x + 2 y - y (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x + 2 y - 2 y \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x + 2 y - 2 y \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.9

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.9.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x + 2 y - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.9.2

$2 y$ から $2 y$ を引きます。

$- \frac{x + 0}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.9.3

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.10

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{y}{x + 2 y} \cdot 0$

ステップ 3.11

式を簡約します。

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ステップ 3.11.1

$\frac{y}{x + 2 y}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

ステップ 3.11.2

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例