微分積分例

Find the derivative of $\sin^{2} (x + 5)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x + 5)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x + 5)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x + 5)$ で置き換えます。

$2 \sin (x + 5) \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 5$ とします。

$2 \sin (x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (x + 5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$2 \sin (x + 5) (\cos (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + 0)$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) \cdot 1$

ステップ 3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (x + 5) \sin (x + 5)$

ステップ 4.2

$2 \cos (x + 5)$ と $\sin (x + 5)$ を並べ替えます。

$\sin (x + 5) (2 \cos (x + 5))$

ステップ 4.3

$\sin (x + 5)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

ステップ 4.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 (x + 5))$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\sin (2 x + 2 \cdot 5)$

ステップ 4.6

$2$ に $5$ をかけます。

$\sin (2 x + 10)$

微分積分 例

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