微分積分例

$y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x = - 27$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x) = \frac{d}{d x} (- 27)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 y^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$3 y^{2} y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$3 y^{2} y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 y^{2} y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.3.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 9 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 y$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.5.3

$2$ に $2$ をかけます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + \frac{d}{d x} [20 x]$

ステップ 2.6

$\frac{d}{d x} [20 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.6.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \cdot 1$

ステップ 2.6.3

$20$ に $1$ をかけます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20$

ステップ 2.7

項を並べ替えます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y'$

ステップ 3

$- 27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 27$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 20 - 9 y' = - 4 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

ステップ 5.2

$3 y'$ を $3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3 y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

ステップ 5.2.2

$3 y'$ を $- 6 y y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) - 9 y' = - 4 x - 20$

ステップ 5.2.3

$3 y'$ を $- 9 y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

ステップ 5.2.4

$3 y'$ を $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y)$ で因数分解します。

$3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

ステップ 5.2.5

$3 y'$ を $3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3$ で因数分解します。

$3 y' (y^{2} - 2 y - 3) = - 4 x - 20$

ステップ 5.3

因数分解。

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ステップ 5.3.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - 2 y - 3$ を因数分解します。

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ステップ 5.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 5.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 y' ((y - 3) (y + 1)) = - 4 x - 20$

ステップ 5.3.2

不要な括弧を削除します。

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$

ステップ 5.4

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ の各項を $3 (y - 3) (y + 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ の各項を $3 (y - 3) (y + 1)$ で割ります。

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.2.2

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.2.3

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

微分積分 例

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