微分積分例

$5 x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{- \frac{1}{2}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 1.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 1.7

分数の前に負数を移動させます。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 1.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 1.9

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 1.10

$- 5$ と $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 5 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.11.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.11.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- \frac{5}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ です。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ を ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

ステップ 2.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 2.3

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

ステップ 2.7.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$- \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

ステップ 2.10

掛け算します。

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ステップ 2.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{5}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

ステップ 2.10.2

$\frac{5}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

ステップ 2.11

$\frac{5}{2}$ に $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ をかけます。

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.12

掛け算します。

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ステップ 2.12.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.12.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

ステップ 2.12.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

微分積分 例

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