微分積分例

Find the derivative of $\sqrt[3]{6 x + 2}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{6 x + 2}$ を ${(6 x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(6 x + 2)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 6 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x + 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $6 x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 x + 2]$

ステップ 8

総和則では、 $6 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 9

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 11

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 12

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (6 + 0)$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 6$

ステップ 13.2

$\frac{1}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 13.3

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$3$ を $3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 ({(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{{(6 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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