微分積分例

$y = 5 {(5 x^{2} + 5 x)}^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(5 x^{2} + 5 x)}^{3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 {(5 x^{2} + 5 x)}^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 5 x)}^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 5 x)}^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 5 x^{2} + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2} + 5 x$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} + 5 x$ で置き換えます。

$5 (3 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$3$ に $5$ をかけます。

$15 ({(5 x^{2} + 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 5 x])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $5 x^{2} + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.3.5

$2$ に $5$ をかけます。

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.3.6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5 \cdot 1)$

ステップ 3.3.8

$5$ に $1$ をかけます。

$15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 15 {(5 x^{2} + 5 x)}^{2} (10 x + 5)$

微分積分 例

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