微分積分例

$y = \cos (4 x + 5)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (4 x + 5))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x + 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x + 5$ で置き換えます。

$- \sin (4 x + 5) \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $4 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- \sin (4 x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$- \sin (4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 3.2.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (4 x + 5) (4 + 0)$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (4 x + 5) \cdot 4$

ステップ 3.2.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \sin (4 x + 5)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 4 \sin (4 x + 5)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 4 \sin (4 x + 5)$

微分積分 例

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