微分積分例

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x^{4}))$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{8}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{8}}} (4 x^{3})$

ステップ 2.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.1

$4$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{8}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - x^{8}}} x^{3}$

ステップ 2.3.2

$\frac{4}{\sqrt{1 - x^{8}}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{\sqrt{1 - x^{8}}}$

微分積分 例