微分積分例

$x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

ステップ 1

$x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 4.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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