微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ と $2 - 2 x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ を $4 \ln (3 x - 2)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 - 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) - 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1) + 2 (- x^{2})}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- x^{2})$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \ln (3 x - 2))}{2 (1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

ステップ 1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{\ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{\ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{\ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$3$ から $2$ を引きます。

$2 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 2.1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$2 \frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{1 - 1^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{0}{1 - 1}$

ステップ 2.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (3 x - 2)}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 2$ とします。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 2$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.9

$\frac{1}{3 x - 2}$ と $3$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 2.3.10

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 2.3.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 2.3.12

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.12.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.12.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 1 \cdot 2 x}$

ステップ 2.3.12.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{0 - 2 x}$

ステップ 2.3.13

$0$ から $2 x$ を引きます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2}}{- 2 x}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

ステップ 2.5

$\frac{3}{3 x - 2}$ に $\frac{1}{- 2 x}$ をかけます。

$2 lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) \cdot - 2 x}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{3}{- 2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{3}{- 2}) lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) x}$

ステップ 3.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

ステップ 3.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

ステップ 3.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.7

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

ステップ 4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{3}{- 2}) \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 \frac{3}{2 (- 1)} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{3}{2 \cdot - 1} \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{- 1} \cdot \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

ステップ 5.2

$3$ を $- 1$ で割ります。

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

ステップ 5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$- 3 \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3$ に $1$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{3 - 2}$

ステップ 5.4.3

$3$ から $2$ を引きます。

$- 3 (\frac{1}{1})$

ステップ 5.5

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

共通因数を約分します。

$- 3 (\frac{1}{1})$

ステップ 5.5.2

式を書き換えます。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 5.6

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

微分積分 例

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