微分積分例

$y = \arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$

ステップ 1

総和則では、 $\arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{6}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{6}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{6}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2.4

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{6})}^{2}) \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 2.6

$6$ を $1 + {(\frac{x}{6})}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$ です。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x - 7$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $3 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.10

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.11

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.12

$3$ を $x^{2} + 3$ の左に移動させます。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.13

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 3.15

$\frac{1}{6}$ に $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x}{6}$ に当てはめます。

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{6^{2}})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6

項をまとめます。

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ステップ 4.6.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.3

$6$ と $\frac{x^{2}}{36}$ をまとめます。

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.4

$6$ と $36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{6 + \frac{6 (x^{2})}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.2.1

$6$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.5

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.6

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x \cdot x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.8

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x^{1}) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{1 + 1} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.11

$- 2$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.12

$3 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.13

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4.6.14

$\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ を掛けます。

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

ステップ 4.6.15

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(6 + \frac{x^{2}}{6}) \cdot 6 {(x^{2} + 3)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.6.15.1

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ に $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

ステップ 4.6.15.2

$\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ に $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ をかけます。

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

ステップ 4.6.15.3

$(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

ステップ 4.6.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} + (- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

微分積分 例

微分積分例