微分積分例

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

ステップ 1

$2 x^{2} + x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{8}$

ステップ 1.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{8}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 2

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ を方程式 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ の中の $2 x^{2} + x$ に代入します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

ステップ 3

両辺に $\frac{1}{8}$ を加えて、 $- \frac{1}{8}$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

ステップ 4

$2 y^{2} + y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{8}$

ステップ 4.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{8}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 5

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ を方程式 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ の中の $2 y^{2} + y$ に代入します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

ステップ 6

両辺に $\frac{1}{8}$ を加えて、 $- \frac{1}{8}$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 7

$2 z^{2} + z$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 7.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 7.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 7.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{8}$

ステップ 7.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{8}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 7.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 8

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ を方程式 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ の中の $2 z^{2} + z$ に代入します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 9

両辺に $\frac{1}{8}$ を加えて、 $- \frac{1}{8}$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 10

$9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

ステップ 10.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

ステップ 10.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

ステップ 10.3

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

ステップ 10.4

$9$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

ステップ 10.5

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

ステップ 10.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

$9$ に $8$ をかけます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

ステップ 10.6.2

$72$ と $3$ をたし算します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例