微分積分例

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

ステップ 1

2 x^{2} + x

$2 x^{2} + x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

a

$a$ 、

b

$b$ 、

c

$c$ の値を求めます。

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

c = 0

$c = 0$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

d

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

d = \frac{1}{2 \cdot 2}

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

d = \frac{1}{4}

$d = \frac{1}{4}$

d = \frac{1}{4}

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 1.4

公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

e

$e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

c

$c$ 、

b

$b$ 、および

a

$a$ の値を公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.1.2

4

$4$ に

2

$2$ をかけます。

e = 0 - \frac{1}{8}

$e = 0 - \frac{1}{8}$

e = 0 - \frac{1}{8}

$e = 0 - \frac{1}{8}$

ステップ 1.4.2.2

0

$0$ から

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ を引きます。

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 1.5

a

$a$ 、

d

$d$ 、および

e

$e$ の値を頂点形

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 2

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ を方程式

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ の中の

2 x^{2} + x

$2 x^{2} + x$ に代入します。

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

ステップ 3

両辺に

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ を加えて、

- \frac{1}{8}

$- \frac{1}{8}$ を方程式の右辺に移動させます。

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

ステップ 4

2 y^{2} + y

$2 y^{2} + y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

a

$a$ 、

b

$b$ 、

c

$c$ の値を求めます。

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

c = 0

$c = 0$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.3

公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

d

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

d = \frac{1}{2 \cdot 2}

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

d = \frac{1}{4}

$d = \frac{1}{4}$

d = \frac{1}{4}

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 4.4

公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

e

$e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

c

$c$ 、

b

$b$ 、および

a

$a$ の値を公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.1.2

4

$4$ に

2

$2$ をかけます。

e = 0 - \frac{1}{8}

$e = 0 - \frac{1}{8}$

e = 0 - \frac{1}{8}

$e = 0 - \frac{1}{8}$

ステップ 4.4.2.2

0

$0$ から

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ を引きます。

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 4.5

a

$a$ 、

d

$d$ 、および

e

$e$ の値を頂点形

2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 5

2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ を方程式

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ の中の

2 y^{2} + y

$2 y^{2} + y$ に代入します。

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

ステップ 6

両辺に

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ を加えて、

- \frac{1}{8}

$- \frac{1}{8}$ を方程式の右辺に移動させます。

2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 7

2 z^{2} + z

$2 z^{2} + z$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

a

$a$ 、

b

$b$ 、

c

$c$ の値を求めます。

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

c = 0

$c = 0$

ステップ 7.2

放物線の標準形を考えます。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 7.3

公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

d

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

d = \frac{1}{2 \cdot 2}

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

d = \frac{1}{4}

$d = \frac{1}{4}$

d = \frac{1}{4}

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 7.4

公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

e

$e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

c

$c$ 、

b

$b$ 、および

a

$a$ の値を公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2.1.2

4

$4$ に

2

$2$ をかけます。

e = 0 - \frac{1}{8}

$e = 0 - \frac{1}{8}$

e = 0 - \frac{1}{8}

$e = 0 - \frac{1}{8}$

ステップ 7.4.2.2

0

$0$ から

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ を引きます。

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 7.5

a

$a$ 、

d

$d$ 、および

e

$e$ の値を頂点形

2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 8

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ を方程式

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ の中の

$2 z^{2} + z$ に代入します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 9

両辺に

$\frac{1}{8}$ を加えて、

$- \frac{1}{8}$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

ステップ 10

$9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

ステップ 10.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$1$ と

$1$ をたし算します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

ステップ 10.2.2

$2$ と

$1$ をたし算します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

ステップ 10.3

$9$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{8}{8}$ を掛けます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

ステップ 10.4

$9$ と

$\frac{8}{8}$ をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

ステップ 10.5

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

ステップ 10.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

$9$ に

$8$ をかけます。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

ステップ 10.6.2

$72$ と

$3$ をたし算します。

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例