微分積分例

$\frac{x^{3}}{5 + x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 5 + x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(5 + x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 + x^{3}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ を $5 + x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $5 + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ をたし算します。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (3 x^{2})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{3} x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 (x^{2} x^{3})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{2 + 3}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 \cdot 5 + 3 x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \cdot 5 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{15 x^{2} + 3 (x^{2} x^{3}) - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{2 + 3} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.2.1

$3 x^{5}$ から $3 x^{5}$ を引きます。

$\frac{15 x^{2} + 0}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

$15 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{15 x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{15 x^{2}}{{(x^{3} + 5)}^{2}}$

微分積分 例

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