微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x) - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.6.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.6.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.6.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

ステップ 1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

ステップ 1.3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2} - 2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.5.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x} - \cos (x) - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.5.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.9

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \cdot 1}$

ステップ 3.9.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2}$

ステップ 4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 2 + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

ステップ 7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

ステップ 8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

ステップ 9

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 11

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 12

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 12.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 12.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

ステップ 13

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

ステップ 13.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

ステップ 13.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1 - 2 + 0}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

ステップ 13.1.4

$1 - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 - 2}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

ステップ 13.1.5

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 1}{0 - 1 \cdot 2}$

ステップ 13.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 1}{0 - 2}$

ステップ 13.2.3

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{- 2}$

ステップ 13.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{1}{2}$

微分積分 例

微分積分例