微分積分例

$\frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ を ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ を ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

ステップ 1.3

${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ および $g (x) = 8 x^{2} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 x^{2} - 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $8 x^{2} - 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 6.2

$- 1$ から $5$ を引きます。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 7.2

${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

ステップ 8

総和則では、 $8 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 9

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 11

$2$ に $8$ をかけます。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 12

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$16 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

ステップ 13.2

$16$ に $- 1$ をかけます。

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

ステップ 13.3

$- 16$ と $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ をまとめます。

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

ステップ 13.4

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

ステップ 13.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

微分積分 例

微分積分例