微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} + 2 x}}{x}$

ステップ 1

$x$ を $5 x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + 2 x}}{x}$

ステップ 1.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + x \cdot 2}}{x}$

ステップ 1.3

$x$ を $x (5 x) + x \cdot 2$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x + 2)}}{x}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

ステップ 3

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{1}$

ステップ 4

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{1}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 5.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.1.2

$5$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{1}$

ステップ 9.3

答えを簡約します。

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ステップ 9.3.1

$5 + 2 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{5 + 2 \cdot 0}}{1}$

ステップ 9.3.2

$\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$

ステップ 9.3.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\sqrt{5 + 0}$

ステップ 9.3.4

$5$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{5}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{5}$

10進法形式：

$2.23606797 \dots$

微分積分 例

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