微分積分例

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{(x^{3} + 1)}{x} d x$

ステップ 1

分数を複数の分数に分割します。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.4

式を書き換えます。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{2}}{1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\int_{1}^{e^{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}}$ と $\ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

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ステップ 6.2.1

$e^{2}$ および $1$ で $\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} {(e^{2})}^{3} + \ln (| e^{2} |)) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2

簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

${(e^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} e^{2 \cdot 3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} e^{6} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $e^{6}$ をまとめます。

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.5

$- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{e^{6}}{3} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

ステップ 6.2.2.6

$- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

ステップ 6.2.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{6} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

ステップ 6.2.2.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (| e^{2} |)$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{2}$ は約 $7.38905609$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (e^{2})$

ステップ 7.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2})$ を展開します。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \ln (e)$

ステップ 7.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \cdot 1$

ステップ 7.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

10進法形式：

$136.14293116 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例