微分積分例

$y = x^{3}$

ステップ 1

$y = x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x)$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x$ です。

$6 x$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x = 0$

ステップ 2.2.2

$6 x = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$6 x = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{6}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 6 (- 2)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 12$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 6 (2)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$6$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 12$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例