微分積分例

$y = \sqrt[3]{1 - 8 z}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{1 - 8 z}$ を ${(1 - 8 z)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d z} [{(1 - 8 z)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (z) = z^{\frac{1}{3}}$ および $g (z) = 1 - 8 z$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 8 z$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 - 8 z$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(1 - 8 z)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(1 - 8 z)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(1 - 8 z)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(1 - 8 z)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(1 - 8 z)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(1 - 8 z)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(1 - 8 z)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(1 - 8 z)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - 8 z)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - 8 z)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [1 - 8 z]$

ステップ 8

総和則では、 $1 - 8 z$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 8 z]$ です。

$\frac{1}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 8 z])$

ステップ 9

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d z} [- 8 z])$

ステップ 10

$0$ と $\frac{d}{d z} [- 8 z]$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [- 8 z]$

ステップ 11

$- 8$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- 8 z$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d z} [z]$ です。

$\frac{1}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 \frac{d}{d z} [z])$

ステップ 12

分数をまとめます。

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ステップ 12.1

$- 8$ と $\frac{1}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 12.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{8}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

ステップ 14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{8}{3 {(1 - 8 z)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例