微分積分例

$\int \frac{2 t^{3} + 1}{{(t^{4} + 2 t)}^{3}} d t$

ステップ 1

$u = t^{4} + 2 t$ とします。次に $d u = (4 t^{3} + 2) d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (2 t^{3} + 1) d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = t^{4} + 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$t^{4} + 2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 2 t]$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $t^{4} + 2 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$4 t^{3} + 2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$4 t^{3} + 2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{3}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u^{3}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ を $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

ステップ 6.2.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 u^{2}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

ステップ 6.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $t^{4} + 2 t$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4 {(t^{4} + 2 t)}^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例