微分積分例

$z = {(20 x - x y)}^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(20 x - x y)}^{3})$

ステップ 2

$x$ に関する $z$ の微分係数は $z'$ です。

$z'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 20 x - x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $20 x - x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $20 x - x y$ で置き換えます。

$3 {(20 x - x y)}^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $20 x - x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$ です。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

ステップ 3.2.2

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y])$

ステップ 3.2.4

$20$ に $1$ をかけます。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 + \frac{d}{d x} [- x y])$

ステップ 3.2.5

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \cdot 1)$

ステップ 3.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$3 {(20 x - x y)}^{2} \cdot 20 + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

ステップ 3.3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.3.2.1

$20$ に $3$ をかけます。

$60 {(20 x - x y)}^{2} + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 {(20 x - x y)}^{2} y$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z' = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

ステップ 5

$z'$ を $\frac{d z}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d x} = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

微分積分 例

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