微分積分例

$(- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$

ステップ 1

$(- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$ を関数で書きます。

$f (x) = (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x d x$

ステップ 4

$d$ は $x$ に対して定数なので、 $d$ を積分の外に移動させます。

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) x d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3}) x - 15 x d x$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6}) x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5}} x + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$d \int - 9 (x^{\frac{4}{5}} x^{1}) + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5} + 1} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.7

公分母の分子をまとめます。

$d \int - 9 x^{\frac{4 + 5}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.8

$4$ と $5$ をたし算します。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.9

$x$ を $1$ 乗します。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 (x^{- 6} x^{1}) + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 6 + 1} + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.11

$- 6$ と $1$ をたし算します。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{3} x - 15 x d x$

ステップ 5.12

$x$ を $1$ 乗します。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 (x^{3} x^{1}) - 15 x d x$

ステップ 5.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{3 + 1} - 15 x d x$

ステップ 5.14

$3$ と $1$ をたし算します。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{4} - 15 x d x$

ステップ 5.15

$- 9 x^{\frac{9}{5}}$ と $3 x^{- 5}$ を並べ替えます。

$d \int 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} + 9 x^{4} - 15 x d x$

ステップ 5.16

$- 9 x^{\frac{9}{5}}$ を移動させます。

$d \int 3 x^{- 5} + 9 x^{4} - 9 x^{\frac{9}{5}} - 15 x d x$

ステップ 5.17

$3 x^{- 5}$ と $9 x^{4}$ を並べ替えます。

$d \int 9 x^{4} + 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} - 15 x d x$

ステップ 5.18

$- 9 x^{\frac{9}{5}}$ を移動させます。

$d \int 9 x^{4} + 3 x^{- 5} - 15 x - 9 x^{\frac{9}{5}} d x$

ステップ 5.19

$3 x^{- 5}$ を移動させます。

$d \int 9 x^{4} - 15 x + 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$d (\int 9 x^{4} d x + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 7

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$d (9 \int x^{4} d x + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 9

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $- 15$ を積分の外に移動させます。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 \int x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 11

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 13.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 13.3

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 13.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 14

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $- 9$ を積分の外に移動させます。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 \int x^{\frac{9}{5}} d x)$

ステップ 15

べき乗則では、 $x^{\frac{9}{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{5}{14} x^{\frac{14}{5}}$ です。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 (\frac{5}{14} x^{\frac{14}{5}} + C))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{5}{14}$ と $x^{\frac{14}{5}}$ をまとめます。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 (\frac{5 x^{\frac{14}{5}}}{14} + C))$

ステップ 16.2

簡約します。

$d (\frac{9 x^{5}}{5} - \frac{15 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45 x^{\frac{14}{5}}}{14}) + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$d (\frac{9}{5} x^{5} - \frac{15}{2} x^{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45}{14} x^{\frac{14}{5}}) + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$ の不定積分です。

$F (x) =$ $d (\frac{9}{5} x^{5} - \frac{15}{2} x^{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45}{14} x^{\frac{14}{5}}) + C$

微分積分 例

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