微分積分例

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$

ステップ 1

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} d x$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(x + 2)}^{2} {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 4.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(x + 2)}^{2} x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int {(x + 2)}^{2} x^{- 4} d x$

ステップ 5

$u_{1} = x + 2$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{1} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 5.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 2)}^{- 4} d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = u_{1} - 2$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{2} = u_{1} - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$u_{1} - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $u_{1} - 2$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

ステップ 6.1.4

$- 2$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(u_{2} + 2)}^{2} {u_{2}}^{- 4} d u_{2}$

ステップ 7

$u_{3} = {u_{2}}^{2}$ とします。次に $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u_{3} = {u_{2}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

${u_{2}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

ステップ 7.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{2}$

ステップ 7.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5} \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と ${(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}$ をまとめます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5} d u_{3}$

ステップ 8.2

$\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2}$ と ${\sqrt{u_{3}}}^{- 5}$ をまとめます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 5}}{2} d u_{3}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sqrt{u_{3}}}^{- 5}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{5}} d u_{3}$

ステップ 8.4

${\sqrt{u_{3}}}^{5}$ を $\sqrt{{u_{3}}^{5}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 2)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

ステップ 10

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{3}}$ を ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{5}}} d u_{3}$

ステップ 10.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{u_{3}}^{5}}$ を ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}} d u_{3}$

ステップ 10.3

${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

ステップ 10.4

${({u_{3}}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

ステップ 10.4.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

$\frac{5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

ステップ 10.4.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 5}{2}} d u_{3}$

ステップ 10.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}$ を $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2) + 2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2)) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.5

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.7

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.8

${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.12.1

共通因数を約分します。

ステップ 11.12.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.13

簡約します。

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.14

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.16

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.18

$2$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.20

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1 - 5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.21

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 4}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.22

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.22.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.22.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.22.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.22.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.22.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 2}{1}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.22.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{1 - 5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.25

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 4}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.26

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.26.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.26.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.26.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.26.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.26.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{\frac{- 2}{1}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.26.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.27

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.28

$2 {u_{3}}^{- 2}$ と $2 {u_{3}}^{- 2}$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} + 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3}$

ステップ 11.29

${u_{3}}^{\frac{- 3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \int 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

ステップ 12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int 4 {u_{3}}^{- 2} + 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

ステップ 13

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int 4 {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 14

$4$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 \int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 15

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- 2}$ の $u_{3}$ に関する積分は $- {u_{3}}^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + \int 4 {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 16

$4$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 \int {u_{3}}^{- \frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 17

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- \frac{5}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $- \frac{2}{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{{u_{3}}^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 18.2

$2$ を ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2 \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 18.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

ステップ 19

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (4 (- {u_{3}}^{- 1} + C) + 4 (- \frac{2}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} + C) - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C)$

ステップ 20

簡約します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{u_{3}} - \frac{8}{3 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 21

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

$u_{3}$ のすべての発生を ${u_{2}}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{u_{2}}^{2}} - \frac{8}{3 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 21.2

$u_{2}$ のすべての発生を $u_{1} - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(u_{1} - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(u_{1} - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(u_{1} - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 21.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(x + 2 - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$- \frac{4}{{(x + 2 - 2)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.1.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.1.4

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 2 - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.1.5

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.1.6

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 22.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

ステップ 22.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

ステップ 22.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{1}}) + C$

ステップ 22.2.2.2

簡約します。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{3 x^{3}} - \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{4}{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.1.1

$- \frac{4}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.1.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 2)}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.1.4

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{8}{3 x^{3}}) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.2.1

$- \frac{8}{3 x^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 8}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.2.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 4)}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

ステップ 22.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.3.1

$- \frac{2}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C$

ステップ 22.4.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C$

ステップ 22.4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C$

ステップ 22.4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

ステップ 22.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

ステップ 22.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} + \frac{- 1}{x} + C$

ステップ 22.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} - \frac{1}{x} + C$

ステップ 23

答えは関数 $f (x) = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} - \frac{1}{x} + C$

微分積分 例

微分積分例