微分積分例

$x \cdot e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 1.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x e^{x} + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

微分積分 例

微分積分例