微分積分例

$y = 2 \cos^{3} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 \cos^{3} (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos^{3} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 \cos^{2} (x) (- \sin (x))$

ステップ 3.5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

微分積分 例