微分積分例

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{10}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{10}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{10}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.4

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.5

$\frac{30}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.6

$30$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$3$ を $30 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.2.6.2.4

$10 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.4.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

ステップ 1.5.2

$10 x^{2} - 2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$10 x^{2} - 2 x - 8$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $10 x^{2} - 2 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{2}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $10$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 20 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 20 x - 2 + 0$

ステップ 2.4.2

$20 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 20 x - 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{10}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{10}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ と $\frac{10}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.4

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.5

$\frac{30}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.6

$30$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$3$ を $30 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.2.6.2.4

$10 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.4.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$10 x^{2} - 2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 10 x^{2} - 2 x - 8$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $10 x^{2} - 2 x - 8$ です。

$10 x^{2} - 2 x - 8$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ を $10 x^{2} - 2 x - 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (5 x^{2}) - 2 x - 8 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) - 8 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 4) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$2$ を $2 (5 x^{2}) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$2$ を $2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4)$ で因数分解します。

$2 (5 x^{2} - x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

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ステップ 5.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$2 (5 x^{2} - (x) - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$- 1$ を $4$ プラス $- 5$ に書き換える

$2 (5 x^{2} + (4 - 5) x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (5 x^{2} + 4 x - 5 x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 ((5 x^{2} + 4 x) - 5 x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (x (5 x + 4) - (5 x + 4)) = 0$

ステップ 5.2.2.1.3

最大公約数 $5 x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((5 x + 4) (x - 1)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4

$5 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$5 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$5 x + 4 = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $5 x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$5 x = - 4$

ステップ 5.4.2.2

$5 x = - 4$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$5 x = - 4$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

ステップ 5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

ステップ 5.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{5}$

ステップ 5.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4}{5}$

ステップ 5.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.6

最終解は $2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{4}{5}, 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{4}{5}, 1$

ステップ 8

$x = - \frac{4}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$20 (- \frac{4}{5}) - 2$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$- \frac{4}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$20 (\frac{- 4}{5}) - 2$

ステップ 9.1.1.2

$5$ を $20$ で因数分解します。

$5 (4) \frac{- 4}{5} - 2$

ステップ 9.1.1.3

共通因数を約分します。

$5 \cdot 4 \frac{- 4}{5} - 2$

ステップ 9.1.1.4

式を書き換えます。

$4 \cdot - 4 - 2$

ステップ 9.1.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$- 16 - 2$

ステップ 9.2

$- 16$ から $2$ を引きます。

$- 18$

ステップ 10

$x = - \frac{4}{5}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{4}{5}$ は極大値です

ステップ 11

$x = - \frac{4}{5}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- \frac{4}{5}$ で置換えます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot {(- \frac{4}{5})}^{3} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{4}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{5})}^{3}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.1.2

積の法則を $\frac{4}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{5^{3}})) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{4^{3}}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.4

$5$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{125}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.5.1

$- \frac{64}{125}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.5.2

$5$ を $10$ で因数分解します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 (2)}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.5.3

$5$ を $125$ で因数分解します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.5.4

共通因数を約分します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.5.5

式を書き換えます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 64}{25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.6

$\frac{2}{3}$ に $\frac{- 64}{25}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2 \cdot - 64}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.7

$2$ に $- 64$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.8

$3$ に $25$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.10

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.10.1

積の法則を $- \frac{4}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.10.2

積の法則を $\frac{4}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.11

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.11.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.11.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.11.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.11.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{3} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{4^{2}}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.13

$4$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.14

$5$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.15

$- 8 (- \frac{4}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.15.1

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + 8 (\frac{4}{5}) + 48$

ステップ 11.2.1.15.2

$8$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{8 \cdot 4}{5} + 48$

ステップ 11.2.1.15.3

$8$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{32}{5} + 48$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$\frac{16}{25}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{5} + 48$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{16}{25}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} + 48$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{32}{5}$ に $\frac{15}{15}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} \cdot \frac{15}{15} + 48$

ステップ 11.2.2.4

$\frac{32}{5}$ に $\frac{15}{15}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + 48$

ステップ 11.2.2.5

$48$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1}$

ステップ 11.2.2.6

$\frac{48}{1}$ に $\frac{75}{75}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1} \cdot \frac{75}{75}$

ステップ 11.2.2.7

$\frac{48}{1}$ に $\frac{75}{75}$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

ステップ 11.2.2.8

$25 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 25} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

ステップ 11.2.2.9

$3$ に $25$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

ステップ 11.2.2.10

$5$ に $15$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{75} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$- 16$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

ステップ 11.2.4.2

$32$ に $15$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 48 \cdot 75}{75}$

ステップ 11.2.4.3

$48$ に $75$ をかけます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 3600}{75}$

ステップ 11.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 128$ から $48$ を引きます。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 176 + 480 + 3600}{75}$

ステップ 11.2.5.2

$- 176$ と $480$ をたし算します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{304 + 3600}{75}$

ステップ 11.2.5.3

$304$ と $3600$ をたし算します。

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{3904}{75}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $\frac{3904}{75}$ です。

$y = \frac{3904}{75}$

ステップ 12

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$20 (1) - 2$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$20$ に $1$ をかけます。

$20 - 2$

ステップ 13.2

$20$ から $2$ を引きます。

$18$

ステップ 14

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 15

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot 1 - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

ステップ 15.2.1.2

$\frac{10}{3}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

ステップ 15.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 48$

ステップ 15.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 \cdot 1 + 48$

ステップ 15.2.1.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 + 48$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} - 8 + 48$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 48$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8 + 48$

ステップ 15.2.2.4

$- 8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 48$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{- 8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48$

ステップ 15.2.2.6

$\frac{- 8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 48$

ステップ 15.2.2.7

$48$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1}$

ステップ 15.2.2.8

$\frac{48}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 15.2.2.9

$\frac{48}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{10 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{10 - 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4.2

$- 8$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 48 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4.3

$48$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 144}{3}$

ステップ 15.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$10$ から $3$ を引きます。

$f (1) = \frac{7 - 24 + 144}{3}$

ステップ 15.2.5.2

$7$ から $24$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 17 + 144}{3}$

ステップ 15.2.5.3

$- 17$ と $144$ をたし算します。

$f (1) = \frac{127}{3}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{127}{3}$ です。

$y = \frac{127}{3}$

ステップ 16

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ の極値です。

$(- \frac{4}{5}, \frac{3904}{75})$ は極大値です

$(1, \frac{127}{3})$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例