微分積分例

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

ステップ 1.2

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ です。

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

ステップ 3.5

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 3.6.2

$2$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ の左に移動させます。

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$2$ と $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

ステップ 4.2.2

$\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$y$ と $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微分積分 例

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