微分積分例

$5^{x} + 5^{y} = 10$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5^{x} + 5^{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

ステップ 2.2

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [5^{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = 5^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

ステップ 3

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ の因数を並べ替えます。

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

ステップ 5.1.2

$y'$ と $5^{y}$ を並べ替えます。

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

ステップ 5.1.3

$5^{x} \ln (5)$ と $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ を並べ替えます。

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

括弧を削除します。

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

ステップ 5.2.1.2

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ の因数を並べ替えます。

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

ステップ 5.4

$- 5^{y} - 5^{x}$ と $0$ をたし算します。

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

ステップ 5.5

方程式の両辺から $\ln (5)$ を引きます。

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

ステップ 5.6

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.6.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.6.3.1.3

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

ステップ 5.6.3.1.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

微分積分 例

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