微分積分例

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

ステップ 1

$u = a^{4} + x^{4}$ とします。次に $d u = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = a^{4} + x^{4}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$a^{4} + x^{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $a^{4} + x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3

$a^{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a^{4}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4 x^{3}$

ステップ 1.1.5

$0$ と $4 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3}$

ステップ 1.2

$u = a^{4} + x^{4}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = a^{4} + 0$

ステップ 1.3.2

$a^{4}$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = a^{4}$

ステップ 1.4

$u = a^{4} + x^{4}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

ステップ 1.5

$a^{4}$ と $a^{4}$ をたし算します。

$u_{upper} = 2 a^{4}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

ステップ 2.2

$4$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$2 a^{4}$ および $a^{4}$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $2 a^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2

積の法則を $2 (a^{4})$ に当てはめます。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.3

${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.4

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.9

${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

ステップ 6.2.9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

ステップ 7.2

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$2^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

ステップ 7.2.2

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ と $a^{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

ステップ 7.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

ステップ 7.3.2

$2$ を $- 2 a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

ステップ 7.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

ステップ 7.3.4

式を書き換えます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ と $a^{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$

微分積分 例

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