微分積分例

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

ステップ 1.2

$x$ について $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ の各項を $\sec^{2} (x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ の各項を $\sec^{2} (x)$ で割ります。

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 1.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.1

$\sec^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 1.2.1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 1.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.1

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

ステップ 1.2.1.3.2

分数を分解します。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

ステップ 1.2.1.3.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

ステップ 1.2.1.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

ステップ 1.2.1.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.5.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 1.2.1.3.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 1.2.1.3.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.2.1.3.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 1.2.1.3.6

分数を分解します。

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

ステップ 1.2.1.3.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

ステップ 1.2.1.3.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

ステップ 1.2.1.3.9

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

ステップ 1.2.1.3.10

指数を足して $\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.10.1

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

ステップ 1.2.1.3.10.2

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.10.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 1.2.1.3.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

ステップ 1.2.1.3.10.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

ステップ 1.2.1.3.11

$8$ を $1$ で割ります。

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

ステップ 1.2.2

方程式を $8 \cos^{3} (x) = 1$ として書き換えます。

$8 \cos^{3} (x) = 1$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$8 \cos^{3} (x)$ を ${(2 \cos (x))}^{3}$ に書き換えます。

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 1.2.4.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 \cos (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.4

簡約します。

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ステップ 1.2.4.4.1

積の法則を $2 \cos (x)$ に当てはめます。

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 1.2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

ステップ 1.2.6

$2 \cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $\cos (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2 \cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 1.2.6.2

$\cos (x)$ について $2 \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \cos (x) = 1$

ステップ 1.2.6.2.2

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.7

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $\cos (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 1.2.7.2

$\cos (x)$ について $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

ステップ 1.2.7.2.2

$a = 4$ 、 $b = 2$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $\cos (x)$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

ステップ 1.2.7.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.2.2

$- 16$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 1.2.7.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.2.2

$- 16$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 1.2.7.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.4.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.4.6

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

ステップ 1.2.7.2.4.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

ステップ 1.2.7.2.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.2.2

$- 16$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.2.7.2.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 1.2.7.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5.6

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.8

最終解は $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 1.2.9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

ステップ 1.2.10

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 1.2.10.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 1.2.10.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.10.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.10.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.10.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.10.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.10.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.10.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.10.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 1.2.10.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.10.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 1.2.10.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 1.2.10.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.10.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.10.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.10.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.10.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.10.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.11

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

ステップ 1.2.11.2

$\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ の逆余弦は未定義です。

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

ステップ 1.2.12

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

ステップ 1.2.12.2

$\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ の逆余弦は未定義です。

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

ステップ 1.2.13

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

$x = \frac{π}{3} + 2 π n$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{π}{3} + 2 π n$ を $x$ に代入します。

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

ステップ 1.3.2

括弧を削除します。

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

ステップ 1.4

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ を $x$ に代入します。

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

ステップ 1.4.2

括弧を削除します。

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

ステップ 1.5

すべての解をまとめます。

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3

積分し、 $- \frac{π}{3}$ と $\frac{π}{3}$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 3.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3.5

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 3.8

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 3.9

答えを簡約します。

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ステップ 3.9.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.1.1

$\frac{π}{3}$ および $- \frac{π}{3}$ で $\sin (x)$ の値を求めます。

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 3.9.1.2

$\frac{π}{3}$ および $- \frac{π}{3}$ で $\tan (x)$ の値を求めます。

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.4

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.9.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.5

公分母の分子をまとめます。

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.6

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.7.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.7.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.7.3

式を書き換えます。

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.8

$2$ に $4$ をかけます。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.9

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

ステップ 3.9.3.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

ステップ 3.9.3.11

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

ステップ 3.9.3.12

$- - \sqrt{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

ステップ 3.9.3.12.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

ステップ 3.9.3.13

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

ステップ 3.9.3.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

ステップ 3.9.3.15

$8 \sqrt{3}$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$6 \sqrt{3}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$6 \sqrt{3}$

10進法形式：

$10.39230484 \dots$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例