微分積分例

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$θ$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

ステップ 1.1.2.1.2

$θ$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

ステップ 1.1.2.2

$θ$ を $- 1$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{- 1 + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$θ$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{- lim_{θ \to - 1} 2 θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ の項は $θ$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to - 1} θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $θ^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

ステップ 1.1.3.4

$6$ の項は $θ$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

ステップ 1.1.3.5

$θ$ が $- 1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.6

すべての $θ$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$θ$ を $- 1$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.6.2

$θ$ を $- 1$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{- 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.7.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{- 2 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.7.1.3

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0}{- 2 + 6 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.7.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{- 2 + 6 - 4}$

ステップ 1.1.3.7.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.7.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4} = lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $θ + 1$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]$ です。

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

ステップ 1.3.4

$1$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

ステップ 1.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $- 2 θ^{2} - 6 θ - 4$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]$ です。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$- 2$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $- 2 θ^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ です。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

ステップ 1.3.7.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d θ} [- 6 θ]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 6$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $- 6 θ$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

ステップ 1.3.8.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

ステップ 1.3.9

$- 4$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + 0}$

ステップ 1.3.10

$- 4 θ - 6$ と $0$ をたし算します。

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$θ$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

ステップ 2.2

$θ$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

ステップ 2.3

$θ$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- lim_{θ \to - 1} 4 θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

ステップ 2.4

$4$ の項は $θ$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

ステップ 2.5

$θ$ が $- 1$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 6}$

ステップ 3

$θ$ を $- 1$ に代入し、 $θ$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4 - 1 \cdot 6}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{4 - 6}$

ステップ 4.1.3

$4$ から $6$ を引きます。

$\frac{1}{- 2}$

ステップ 4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{2}$

10進法形式：

$- 0.5$

微分積分 例

微分積分例