微分積分例

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \frac{8}{x}$ ならば $V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{8}{x}$ に当てはめます。

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$8$ を $2$ 乗します。

$V = \frac{64}{x^{2}}$

$V = \frac{64}{x^{2}}$

ステップ 3

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $64$ を積分の外に移動させます。

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$64$ を $π$ の左に移動させます。

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$5$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

ステップ 6.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

ステップ 6.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

ステップ 6.2.5

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

ステップ 6.2.6

$\frac{4}{5}$ と $64$ をまとめます。

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

ステップ 6.2.7

$4$ に $64$ をかけます。

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

ステップ 6.2.8

$\frac{256}{5}$ と $π$ をまとめます。

$V = \frac{256 π}{5}$

$V = \frac{256 π}{5}$

$V = \frac{256 π}{5}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{256 π}{5}$

10進法形式：

$V = 160.84954386 \dots$

ステップ 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$