微分積分例

${(x^{2} + 1)}^{3}$

ステップ 1

${(x^{2} + 1)}^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

ステップ 4

${(x^{2} + 1)}^{3}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

二項定理を利用します。

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 4.2

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 4.3

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 4.4

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

ステップ 4.5

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3} d x$

ステップ 4.6

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2} d x$

ステップ 4.7

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

ステップ 4.8

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

ステップ 4.9

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

ステップ 4.10

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

ステップ 4.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.12

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.14

$4$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.15

$3$ に $1$ をかけます。

$\int x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.17

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.18

$3$ に $1$ をかけます。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.19

$3$ に $1$ をかけます。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.20

$1$ に $1$ をかけます。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.21

$1$ に $1$ をかけます。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

ステップ 9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

ステップ 12.1.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

ステップ 12.2

簡約します。

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + x^{3} + x + C$

ステップ 12.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

微分積分 例

微分積分例