微分積分例

\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

ステップ 1

$3 x^{2} + 2 x + 1$ を

$x + 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、

$0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

ステップ 1.2

被除数

$3 x^{2}$ の最高次項を除数

$x$ の最高次項で割ります。

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、

$3 x^{2} + 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

ステップ 1.7

被除数

$- 4 x$ の最高次項を除数

$x$ の最高次項で割ります。

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、

$- 4 x - 8$ の符号をすべて変更します。

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

ステップ 3

$3$ は

$x$ に対して定数なので、

$3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

ステップ 4

べき乗則では、

$x$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と

$x^{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

ステップ 7

$9$ は

$x$ に対して定数なので、

$9$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 8

$u = x + 2$ とします。次に

$d u = d x$ 。

$u$ と

$d$

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u = x + 2$ とします。

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 8.1.2

総和則では、

$x + 2$ の

$x$ に関する積分は

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 8.1.4

$2$ は

$x$ について定数なので、

$x$ について

$2$ の微分係数は

$0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と

$0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u = x + 2$ の

$x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 1 + 2$

ステップ 8.3

$- 1$ と

$2$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 8.4

$u = x + 2$ の

$x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 2$

ステップ 8.5

$1$ と

$2$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と

$u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

ステップ 8.7

$u$ 、

$d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の

$u$ に関する積分は

$\ln (| u |)$ です。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ および

$- 1$ で

$\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

ステップ 10.2

$1$ および

$- 1$ で

$- 4 x$ の値を求めます。

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

ステップ 10.3

$3$ および

$1$ で

$\ln (| u |)$ の値を求めます。

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4

簡約します。

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ステップ 10.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.2

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.3

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.4

$1$ から

$1$ を引きます。

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.5

$0$ と

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.5.1

$2$ を

$0$ で因数分解します。

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.5.2.1

$2$ を

$2$ で因数分解します。

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.5.2.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.5.2.3

式を書き換えます。

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.5.2.4

$0$ を

$1$ で割ります。

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.6

$3$ に

$0$ をかけます。

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.7

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.8

$4$ に

$- 1$ をかけます。

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.9

$- 4$ から

$4$ を引きます。

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10.4.10

$0$ から

$8$ を引きます。

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 11

対数の商の性質を使います、

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$3$ の間の距離は

$3$ です。

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

ステップ 12.2

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

ステップ 12.3

$3$ を

$1$ で割ります。

$- 8 + 9 \ln (3)$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 8 + 9 \ln (3)$

10進法形式：

$1.88751059 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例