微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} {\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (\cos (x))$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0^{+}} x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

ステップ 4.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

ステップ 4.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (0)}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0}{\cos (0)}}$

ステップ 6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{0}{1}}$

ステップ 6.3

$0$ を $1$ で割ります。

$e^{- 0}$

ステップ 6.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 6.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

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