微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $e$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 \cdot e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$e^{1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

簡約します。

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.2

$e$ から $e$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x e^{x} - e$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$- e$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- e$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$x e^{x} + e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5.3

$e^{x} x + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.5

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.6

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.4

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1 \cdot e^{1} + e^{1}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (1 \cdot e^{1} + e^{1})$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$e^{1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{1} + e^{1})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

$\frac{1}{2} (e + e^{1})$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$\frac{1}{2} (e + e)$

ステップ 4.3

$e$ と $e$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 e)$

ステップ 4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2$ を $2 e$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (e))$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 e)$

ステップ 4.4.3

式を書き換えます。

$e$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e$

10進法形式：

$2.71828182 \dots$

微分積分 例

微分積分例