微分積分例

$y = {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{- \frac{3}{4}}$ および $g (x) = 9 x^{2} - 2 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x^{2} - 2 x + 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.1.2

$n = - \frac{3}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{4} u^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $9 x^{2} - 2 x + 2$ で置き換えます。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.5.2

$- 3$ から $4$ を引きます。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.6.2

${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$- \frac{{(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.6.3

式を簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$3$ を ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ の左に移動させます。

$- \frac{3 \cdot {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.6.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

ステップ 3.7

総和則では、 $9 x^{2} - 2 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.8

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.10

$2$ に $9$ をかけます。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.11

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.13

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.14

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + 0)$

ステップ 3.15

$18 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$

ステップ 3.16

簡約します。

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ステップ 3.16.1

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$- (18 x - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.2

分配則を当てはめます。

$(- (18 x) - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.3

$18$ に $- 1$ をかけます。

$(- 18 x - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$(- 18 x + 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.5

$- 18 x + 2$ に $\frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$ をかけます。

$\frac{(- 18 x + 2) \cdot 3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.6

$2$ を $(- 18 x + 2) \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.7

共通因数を約分します。

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ステップ 3.16.7.1

$2$ を $4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

ステップ 3.16.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

ステップ 3.16.7.3

式を書き換えます。

$\frac{(- 9 x + 1) \cdot 3}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.8

$3$ を $- 9 x + 1$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (- 9 x + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.9

$- 1$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (9 x) + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.10

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (9 x) - 1 (- 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.11

$- 1$ を $- (9 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.12

$- (9 x - 1)$ を $- 1 (9 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 3.16.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

微分積分 例

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