微分積分例

$y = \frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 2 - 3 x$ および $g (x) = 3 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $2 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{(3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ をたし算します。

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \cdot 1) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(3 + x^{2}) \cdot - 3 - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$- 3$ を $3 + x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 \cdot (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $3 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (2 x)}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} + (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 x)) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x + 6 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$- 3 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- 9 + 3 x^{2} - 4 x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

微分積分 例

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