微分積分例

$\sqrt{x + 4 y^{2}} = y$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 4 y^{2}}$ を ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (y)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 4 y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + 4 y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 4 y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.6.3

総和則では、 $x + 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

ステップ 3.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

ステップ 3.6.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.7

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.8

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 (y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 3.9

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$

ステップ 3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(1 + 8 y y') \frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.10.2

$1 + 8 y y'$ に $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y'$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = y'$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

両辺に $2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.3

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$1 + 8 y y' = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.4.1

$y$ を移動させます。

$1 + 8 y' y = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.4.2

$1$ と $8 y' y$ を並べ替えます。

$8 y' y + 1 = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 y' y + 1 = 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$8 y' y + 1 - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

ステップ 6.3.3

$2 y'$ を $8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$2 y'$ を $8 y' y$ で因数分解します。

$2 y' (4 y) - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

ステップ 6.3.3.2

$2 y'$ を $- 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

ステップ 6.3.3.3

$2 y'$ を $2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$2 y' (4 y - 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

ステップ 6.3.4

$- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を $- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

ステップ 6.3.5

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ の各項を $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ の各項を $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.2.1

$2$ を $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.2.2.1

$2$ を $8 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2.2.2

$2$ を $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2.2.3

$2$ を $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2.2.5

式を書き換えます。

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.2.4

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.3.1

$2$ を $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.3.1.1

$2$ を $8 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.5.3.1.2

$2$ を $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.5.3.1.3

$2$ を $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 6.3.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

微分積分 例

微分積分例