微分積分例

$4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

ステップ 1

$4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int 4 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.1.2

$- 3$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\int 4 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int 4 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\int \frac{4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{4 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{4 \cdot 1 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{4 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.4.3

$4$ から $3$ を引きます。

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 5

$1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

$4 x^{2} + 1$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 6.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$4 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 6.2

被除数 $4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$4$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 6.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$4$

ステップ 6.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{2} + 0 + 4$ の符号をすべて変更します。

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$

ステップ 6.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$3$

ステップ 6.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 4 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$4 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 10

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$4 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 11.2

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 11.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 12

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$4 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$4 x - 3 \arctan (x) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $4 x - 3 \arctan (x) + C$

微分積分 例

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