微分積分例

$x = \sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}}$ を ${(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d θ} [{(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ および $g (θ) = \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}]$

ステップ 8

$f (θ) = 1 + \cos (θ)$ および $g (θ) = 1 - \cos (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [\frac{f (θ)}{g (θ)}]$ は $\frac{g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)] - f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)]}{{g (θ)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 + \cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

総和則では、 $1 + \cos (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 9.2

$1$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 9.3

$0$ と $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 10

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 11

微分します。

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ステップ 11.1

総和則では、 $1 - \cos (θ)$ の $θ$ に関する積分は $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 11.2

$1$ は $θ$ について定数なので、 $θ$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 11.3

$0$ と $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 11.4

$- 1$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $- \cos (θ)$ の微分係数は $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) - (1 + \cos (θ)) (- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 11.5

掛け算します。

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ステップ 11.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + 1 (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 11.5.2

$1 + \cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 12

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{{(1 - \cos (θ))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 13.2

$2$ を ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 \cdot {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 14.2

積の法則を $\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ に当てはめます。

$\frac{(1 - \cos (θ)) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + (1 + \cos (θ)) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \sin (θ)) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5

項をまとめます。

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ステップ 14.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.2

$- 1 \sin (θ)$ を $- \sin (θ)$ に書き換えます。

$\frac{- \sin (θ) - \cos (θ) (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sin (θ) + 1 \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.4

$\cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.6

$- 1 \sin (θ)$ を $- \sin (θ)$ に書き換えます。

$\frac{- \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.7

$- \sin (θ)$ から $\sin (θ)$ を引きます。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.8

$\cos (θ) \sin (θ)$ と $\cos (θ) (- \sin (θ))$ をたし算します。

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ステップ 14.5.8.1

$\cos (θ)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.8.2

$\cos (θ) \sin (θ)$ から $\cos (θ) \sin (θ)$ を引きます。

$\frac{0 - 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.9

$0$ から $2 \sin (θ)$ を引きます。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.10

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.5.10.1

$2$ を $- 2 \sin (θ)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.5.10.2.1

$2$ を $2 {(1 - \cos (θ))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 ({(1 - \cos (θ))}^{2})} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \sin (θ))}{2 {(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.12

$\frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{\sin (θ)}{{(1 - \cos (θ))}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{{(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} \sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2}}$

ステップ 14.5.13

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(1 - \cos (θ))}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 14.5.14

指数を足して ${(1 - \cos (θ))}^{2}$ に ${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.5.14.1

${(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} ({(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{2})}$

ステップ 14.5.14.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

ステップ 14.5.14.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 14.5.14.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 14.5.14.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 14.5.14.6

分子を簡約します。

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ステップ 14.5.14.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

ステップ 14.5.14.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{\sin (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \cos (θ))}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例