微分積分例

$\frac{3 + 2 x^{2}}{1 - 5 x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 3 + 2 x^{2}$ および $g (x) = 1 - 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$2$ を $1 - 5 x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (1 - 5 x^{2}) (2 x) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $1 - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.11

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.12

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) (2 x)}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.14

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- 5 x^{2})) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + (10 \cdot 3 + 10 (2 x^{2})) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x \cdot x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x^{1} x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{1 + 2}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{3}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3

$- 5$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.4

$10$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x \cdot x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{3})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.6

$2$ に $10$ をかけます。

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.2.1

$- 20 x^{3}$ と $20 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{4 x + 30 x + 0}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

$4 x + 30 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 x + 30 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$4 x$ と $30 x$ をたし算します。

$\frac{34 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$\frac{34 x}{{(- 5 x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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