微分積分例

${(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$ です。

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}])$

ステップ 2.2

$5$ に $3$ をかけます。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = 6 - 5 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

$6 - 5 x^{3}$ に $1$ をかけます。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $6 - 5 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ です。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ をたし算します。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x (3 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.9

$3$ に $5$ をかけます。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x)}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{2 + 1}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 6

$- 5 x^{3}$ と $15 x^{3}$ をたし算します。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 7

$\frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ と $15$ をまとめます。

$\frac{(6 + 10 x^{3}) \cdot 15}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

ステップ 8

$15$ を $6 + 10 x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{15 \cdot (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

積の法則を $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ に当てはめます。

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(5 x)}^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 9.2

積の法則を $5 x$ に当てはめます。

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{15 \cdot 6 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 9.4

項をまとめます。

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ステップ 9.4.1

$15$ に $6$ をかけます。

$\frac{90 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 9.4.2

$10$ に $15$ をかけます。

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 9.4.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 9.4.4

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ に $\frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2} {(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 9.4.5

指数を足して ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ に ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 9.4.5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2 + 2}}$

ステップ 9.4.5.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

ステップ 9.4.6

$25$ を $90 + 150 x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{25 (90 + 150 x^{3}) x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

ステップ 9.5

項を並べ替えます。

$\frac{25 x^{2} (90 + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

ステップ 9.6

分子を簡約します。

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ステップ 9.6.1

$30$ を $90 + 150 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 9.6.1.1

$30$ を $90$ で因数分解します。

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

ステップ 9.6.1.2

$30$ を $150 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 30 (5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

ステップ 9.6.1.3

$30$ を $30 (3) + 30 (5 x^{3})$ で因数分解します。

$\frac{25 x^{2} (30 (3 + 5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

$\frac{25 x^{2} \cdot 30 (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

ステップ 9.6.2

$30$ に $25$ をかけます。

$\frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

微分積分 例

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