微分積分例

$2 e^{3 t} - e^{2 t}$

ステップ 1

総和則では、 $2 e^{3 t} - e^{2 t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 e^{3 t}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 t$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$2 (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (e^{3 t} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (e^{3 t} \cdot 3) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.6

$3$ を $e^{3 t}$ の左に移動させます。

$2 (3 \cdot e^{3 t}) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 2.7

$3$ に $2$ をかけます。

$6 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- e^{2 t}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ です。

$6 e^{3 t} - \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

ステップ 3.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 t$ とします。

$6 e^{3 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 e^{3 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

ステップ 3.3

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \cdot 2)$

ステップ 3.6

$2$ を $e^{2 t}$ の左に移動させます。

$6 e^{3 t} - (2 \cdot e^{2 t})$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t}$

微分積分 例

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