微分積分例

$\int e^{x^{2} + 4 x + 3} (x + 2) d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 4 x + 3$ とします。次に $d u = (2 x + 4) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 4 x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 4 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 3]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 4 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 4$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4 x + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{x^{2} + 4 x + 3} + C$

微分積分 例

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