微分積分例

$x^{2} - 12 x + 84 = - y^{2} + 16 y$

ステップ 1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $y^{2}$ を足します。

$x^{2} - 12 x + 84 + y^{2} = 16 y$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $16 y$ を引きます。

$x^{2} - 12 x + 84 + y^{2} - 16 y = 0$

ステップ 1.3

$84$ を移動させます。

$x^{2} - 12 x + y^{2} - 16 y + 84 = 0$

ステップ 1.4

$- 12 x$ を移動させます。

$x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y + 84 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $84$ を引きます。

$x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$

ステップ 3

$x^{2} - 12 x$ の平方完成。

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ステップ 3.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

ステップ 3.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 6}{1}$

ステップ 3.3.2.2.4

$- 6$ を $1$ で割ります。

$d = - 6$

ステップ 3.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{144}{4}$

ステップ 3.4.2.1.3

$144$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

ステップ 3.4.2.1.4

$- 1$ に $36$ をかけます。

$e = 0 - 36$

ステップ 3.4.2.2

$0$ から $36$ を引きます。

$e = - 36$

ステップ 3.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - 6)}^{2} - 36$ に代入します。

${(x - 6)}^{2} - 36$

ステップ 4

${(x - 6)}^{2} - 36$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$ の中の $x^{2} - 12 x$ に代入します。

${(x - 6)}^{2} - 36 + y^{2} - 16 y = - 84$

ステップ 5

両辺に $36$ を加えて、 $- 36$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 6)}^{2} + y^{2} - 16 y = - 84 + 36$

ステップ 6

$y^{2} - 16 y$ の平方完成。

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ステップ 6.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 16$

$c = 0$

ステップ 6.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

$- 16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}$

ステップ 6.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 8}{1}$

ステップ 6.3.2.2.4

$- 8$ を $1$ で割ります。

$d = - 8$

ステップ 6.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 6.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{256}{4}$

ステップ 6.4.2.1.3

$256$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

ステップ 6.4.2.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$e = 0 - 64$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$e = - 64$

ステップ 6.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - 8)}^{2} - 64$ に代入します。

${(y - 8)}^{2} - 64$

ステップ 7

${(y - 8)}^{2} - 64$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$ の中の $y^{2} - 16 y$ に代入します。

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} - 64 = - 84 + 36$

ステップ 8

両辺に $64$ を加えて、 $- 64$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 84 + 36 + 64$

ステップ 9

$- 84 + 36 + 64$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 84$ と $36$ をたし算します。

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 48 + 64$

ステップ 9.2

$- 48$ と $64$ をたし算します。

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 16$

ステップ 10

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 11

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = 4$

$h = 6$

$k = 8$

ステップ 12

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(6, 8)$

ステップ 13

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(6, 8)$

半径： $4$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例