微分積分例

$\int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

ステップ 1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

ステップ 2

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$9 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{u^{4}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$9 \int \frac{1}{u^{4} \cdot 2} d u$

ステップ 3.2

$2$ を $u^{4}$ の左に移動させます。

$9 \int \frac{1}{2 u^{4}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

ステップ 5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.1

$u^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{9}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2.2

${(u^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9}{2} \int u^{- 4} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 4}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ です。

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ を $\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{u^{3}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

ステップ 7.2.2

$3$ を $u^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

ステップ 7.2.3

$\frac{9}{2}$ に $\frac{1}{3 u^{3}}$ をかけます。

$- \frac{9}{2 (3 u^{3})} + C$

ステップ 7.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{9}{6 u^{3}} + C$

ステップ 7.2.5

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$- \frac{3 (3)}{6 u^{3}} + C$

ステップ 7.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.5.2.1

$3$ を $6 u^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{3 (3)}{3 (2 u^{3})} + C$

ステップ 7.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (2 u^{3})} + C$

ステップ 7.2.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2 u^{3}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

微分積分 例

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