微分積分例

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

ステップ 5

$u = y + 9$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = y + 9$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$y + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $y + 9$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 5.1.4

$9$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = y + 9$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 8 + 9$

ステップ 5.3

$- 8$ と $9$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = y + 9$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 0 + 9$

ステップ 5.5

$0$ と $9$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

ステップ 8

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$0$ および $- 8$ で $\frac{1}{2} y^{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

ステップ 8.2

$9$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.3

$- 8$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.4

$64$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.5

$- 64$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6

$- 64$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.1

$2$ を $- 64$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2.4

$- 32$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.7

$0$ から $32$ を引きます。

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.8

$\frac{1}{8}$ と $- 32$ をまとめます。

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9

$- 32$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.1

$8$ を $- 32$ で因数分解します。

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.10

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.11

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.12.1

共通因数を約分します。

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.12.2

式を書き換えます。

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.13

$3$ を $3$ 乗します。

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.14

$\frac{2}{3}$ と $27$ をまとめます。

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.15

$2$ に $27$ をかけます。

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.16

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.16.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.16.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.16.2.3

式を書き換えます。

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.16.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.17

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 8.3.18

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

ステップ 8.3.19

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 8.3.20

$18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 8.3.21

公分母の分子をまとめます。

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

ステップ 8.3.22

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.22.1

$18$ に $3$ をかけます。

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

ステップ 8.3.22.2

$54$ から $2$ を引きます。

$- 4 + \frac{52}{3}$

ステップ 8.3.23

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

ステップ 8.3.24

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

ステップ 8.3.25

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

ステップ 8.3.26

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.26.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 12 + 52}{3}$

ステップ 8.3.26.2

$- 12$ と $52$ をたし算します。

$\frac{40}{3}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{40}{3}$

10進法形式：

$13.\overline{3}$

帯分数形：

$13 \frac{1}{3}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例